1. Introduction au Système Binaire
Le système binaire est un système de numération qui n'utilise que deux chiffres : 0 et 1. Chaque chiffre dans ce système est appelé un "bit" (contraction de "binary digit").
Base du système :
- Décimal (base 10) : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- Binaire (base 2) : 0, 1
En binaire, chaque position représente une puissance de 2, à partir de la droite :
- 20 : 1
- 21 : 2
- 22 : 4
- 23 : 8, etc.
2. Conversion des Nombres
Conversion Décimal vers Binaire
Pour convertir un nombre décimal en binaire, on divise le nombre par 2 et on note le reste. On répète le processus jusqu'à ce que le quotient soit 0. Les restes lus à l'envers donnent le nombre binaire.
Exemple : Convertir 13 en binaire
1. 13 ÷ 2 = 6, reste 1
2. 6 ÷ 2 = 3, reste 0
3. 3 ÷ 2 = 1, reste 1
4. 1 ÷ 2 = 0, reste 1
Lus à l'envers, les restes sont 1101. Donc, 13 en binaire est 1101.
Conversion Binaire vers Décimal
Pour convertir un nombre binaire en décimal, on multiplie chaque chiffre par la puissance de 2 correspondante et on additionne le tout.
Exemple : Convertir 1101 en décimal
1. 1 × 2^3 = 1 × 8 = 8
2. 1 × 2^2 = 1 × 4 = 4
3. 0 × 2^1 = 0 × 2 = 0
4. 1 × 2^0 = 1 × 1 = 1
Additionne : 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Donc, 1101 en décimal est 13.
3. Opérations en Binaire
Addition Binaire
L'addition binaire suit les règles suivantes :
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 0 (et on retient 1)
Exemple :
1011
+ 1101
------
11000
Soustraction Binaire
La soustraction binaire suit les règles suivantes :
- 0 - 0 = 0
- 1 - 0 = 1
- 1 - 1 = 0
- 0 - 1 = 1 (et on emprunte 1 du chiffre suivant)
Exemple :
1010
- 0011
------
0111
Multiplication Binaire
La multiplication binaire suit les règles de multiplication classique, en décalant vers la gauche chaque ligne pour chaque multiplication par 1.
Exemple :
101
× 11
------
101 (101 × 1)
1010 (101 × 1 décalé d'une place à gauche)
------
1111
Division Binaire
La division binaire est similaire à la division décimale, avec des étapes de soustraction et de déplacement.
Exemple : Diviser 1010 (10 en décimal) par 10 (2 en décimal) :
1010 ÷ 10 = 101 (10 ÷ 2 = 5 en décimal)
4. Applications du Binaire
Le système binaire est essentiel en informatique car les ordinateurs utilisent des circuits électroniques qui ont deux états : allumé (1) et éteint (0). Voici quelques applications clés :
- Stockage de données : Les données sont stockées en binaire sous forme de bits et d'octets.
- Transmission de données : Les informations sont envoyées sous forme de signaux binaires.
- Processeurs et calcul : Les opérations arithmétiques sont effectuées en binaire par les processeurs.
5. Notions Avancées
Bits et Octets
Bit : Un seul chiffre binaire (0 ou 1).
Octet : Un groupe de 8 bits. Par exemple, le nombre binaire 11010110 est un octet.
Système Hexadécimal
Le système hexadécimal (base 16) est souvent utilisé en informatique comme une forme plus compacte de représentation binaire. Il utilise les chiffres de 0 à 9 et les lettres de A à F pour représenter les valeurs 10 à 15.
Exemple : Le binaire 11010110 en hexadécimal est D6.